In Times of Scarcity, War and Peace, a Ukrainian Finds the Magic in Math

In late February, just weeks after Maryna Viazovska learned she had won a Fields Medal — the highest honor for a mathematician — Russian tanks and war planes began their assault on Ukraine, her homeland, and Kyiv, her hometown.

Viazovska no longer lived in Ukraine, but her family was still there. Her two sisters, a 9-year-old niece and an 8-year-old nephew set out for Switzerland, where Viazovska now lives. They first had to wait two days for the traffic to let up; even then the drive west was painfully slow. 

Το Θεώρημα του Σάντουιτς με Ζαμπόν

Το Θεώρημα του Σάντουιτς με Ζαμπόν αναφέρει ότι, για δύο στοίβες αντικειμένων (π.χ. δύο τηγανίτες τοποθετημένες η μία πάνω στην άλλη), υπάρχει πάντα μία ευθεία τομή που τις χωρίζει και τις δύο ακριβώς στη μέση ως προς το εμβαδόν τους.

Μια πρακτική μέθοδος εύρεσης αυτής της τομής βασίζεται σε διαδοχικές διχοτομήσεις:

• Η εξωτερική διχοτόμηση μετακινεί τη γραμμή έτσι ώστε να χωρίζει την πρώτη τηγανίτα ακριβώς στα δύο.

Η αλυσίδα των ισοπλεύρων τριγώνων

Στο ίδιο επίπεδο δίνονται σημεία A,B,C,D,E,F,G,H έτσι ώστε τα τρίγωνα ABC, ADE, BFD, CEG και BGH να είναι όλα ισόπλευρα και να έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (δηλαδή οι κορυφές τους αναγράφονται με την ίδια κυκλική φορά). 

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο EFH είναι επίσης ισόπλευρο.

Μπορεί το βαρύκεντρο να χωρίσει το τρίγωνο σε αναλογία 2:1;

Είναι δυνατόν να χαράξουμε μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής των διαμέσων (βαρύκεντρο) ενός τριγώνου και να διαιρεί το εμβαδόν του σε αναλογία 2:1;

Οι οκτώ τόμοι του Ιουλίου Βερν

 Σε μια βιβλιοθήκη υπάρχει μια συλλογή οκτώ τόμων του Ιουλίου Βερν. Επιτρέπεται η εξής ενέργεια: αφαιρείτε τον τόμο που είναι είτε τρίτος είτε όγδοος (μετρώντας από αριστερά προς δεξιά) και τον τοποθετείτε πρώτο στη σειρά. 

Αποδείξτε ότι, μετά από επαρκή αριθμό τέτοιων κινήσεων, είναι δυνατό να τοποθετήσετε τους τόμους στη σωστή σειρά, ανεξάρτητα από την αρχική διάταξη.

[75] - Algebraic Inequalities from and for Math Contests

Έστω $a,b,c>0$ τέτοιοι ώστε το πολύ ένας από αυτούς να είναι μικρότερος του $1$ και \[a^5+b^5+c^5=3.\] Να αποδείξετε ότι \[\left(a^2+b^2+c^2\right)\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9.\] Proposed by Vasile Cirtoaje, Petroleum-Gas University of Ploiești, Romania

Οι φανταστικοί αριθμοί και η λευκή κόλλα !

Ελάχιστη Τιμή Συνάρτησης Απόστασης στο Επίπεδο

Για τους πραγματικούς αριθμούς x,y, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 

$$f(x,y)=\sqrt{4+y^2}+\sqrt{(x-2{)}^2+(2-y{)}^2}+\sqrt{(4-x{)}^2+1}\mathrm{.}$$

Επιλογές: 

(a) 0          (b) $\dfrac{7}{2}$         (c) 5           (d) 25          (e) 49